Детальная страница исследования
Руководитель проекта
Читать все новости →
Савин Антон Юрьевич
Доктор физико-математических наук, профессор Математического института им. С. М. НикольскогоНелокальные задачи возникают во многих областях математики, а также в ее приложениях к науке и технике. В данном проекте мы сосредоточимся на нелокальных краевых задачах, связанных с действиями групп на многообразиях. Рассматривается задача об исследовании нелокальных эллиптических задач, а именно, необходимо получить понятие символа, доказать фредгольмовость эллиптических задач, получить гомотопическую классификацию и предъявить формулы индекса для новых классов таких задач.
Кроме этого, случай гиперболических уравнений (или, более общо, уравнений с вещественными характеристиками) остается практически не исследованным в случае нелокальных задач, главным образом из-за сложности предмета. Здесь задача состоит в том, чтобы расширить существующие и хорошо зарекомендовавшие себя для локальных задач методы, такие как интегральные операторы Фурье и канонический оператор Маслова, чтобы охватить нелокальные краевые задачи рассматриваемых здесь типов.
Цели проекта
Изучаются эллиптические и гиперболические нелокальные краевые задачи, связанные с действиями групп в неинвариантном случае, когда действие не сохраняет границу. Наша цель — изучить как аналитические аспекты теории (ввести понятие эллиптичности, доказать фредгольмовость эллиптических элементов), так и применить методы топологии и некоммутативной геометрии для получения формул индекса. Важную роль играет разбиение многообразия с краем на части образами границы при диффеоморфизмах, задаваемых действием группы. Это разбиение рассматривается как многообразие с особенностями, и мы собираемся применить к нашей задаче методы сингулярного анализа. Для изучения гиперболических нелокальных краевых задач мы будем использовать квазиклассические методы.Область исследования
Результаты будут применены для нахождения квазиклассических асимптотик решений нелокальных гиперболических задач. Они имеют важное значение как в теории дифференциальных уравнений с частными производными, так и в некоммутативной геометрии и глобальном анализе. Полученные результаты могут быть также применены при исследовании нелокальных краевых задач, возникающих в механике.Партнеры
